Топологічна еквівалентність кусково-лінійних функцій

Abstract

Розглянуто задачу для неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремальних точок, заданих на відрізку та числовій осі. Показано, що в кожному класі еквівалентності таких функцій присутня невід’ємна функція, яка приймає в точках екстремумів усі цілочислові значення з множини 0, 1, 2, …, l. Для повної альтернуючої послідовності визначено кусково-лінійну функцію, яка називається PL-реалізацією альтернуючої послідовності. Доведено, що кожна неперервна функція зі скінченною кількістю екстремальних точок, задана на відрізку, буде топологічно еквівалентною PL-реалізації своєї повної альтернуючої послідовності. Визначено періодичну альтернуючу послідовність, яка будується згідно з послідовністю екстремумів неперервної функції, яка задана на відрізку [a,b], і чисел, що відповідають критичним значенням заданої функції. Введено спеціальну функцію та поставлено у відповідність спеціальній функції періодичну альтернуючу послідовність. Доведено існування поліному, топологічно еквівалентного кусково-лінійній функції.